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在向列表中添加新值时，不必重新线性计算列表的均值。 可以通过提供当前均值、生成该均值的列表元素数量以及要添加的新值， 使用此函数计算新的均值。

近似相等。

该函数用于判断两个数值在给定的相对误差范围内是否近似相等。 在统计学和数值分析中，由于浮点数计算的精度限制，直接比较两个数值是否相等可能不适用， 因此通过设定一个容差范围来评估它们的近似相等性。

伯努利分布 是一个离散概率分布，描述了一个随机变量以成功概率 p 取值为 1， 以失败概率 q = 1 - p 取值为 0 的情况。 它可以用于表示抛硬币实验，其中 "1" 表示 "正面"，"0" 表示 "反面"（或反之亦然）。 它是二项分布的一个特例，其中试验次数 n = 1。

二项分布 是离散概率分布， 表示在 n 次相互独立的成功/失败实验中，成功的次数。这类成功/失败实验也称为 伯努利试验（Bernoulli trial）；当试验次数 trials = 1 时，二项分布退化为 伯努利分布（Bernoulli Distribution）。

二分法 是一种求根方法， 通过反复将区间一分为二来找到函数的根。

该函数返回一个数值近似值。

创建全量点间距离查找表

根据数据点标签计算新的聚类中心

计算新旧聚类中心的总变化量

χ2 (卡方) 拟合优度检验 使用一个拟合优度的度量，该度量是观测频率与期望频率之间差异的平方和， 并除以期望的观测数。由此产生的 χ2 统计量 chiSquared 可以与卡方分布进行比较， 以确定拟合优度。为了确定卡方分布的自由度，取观测频率的总数并减去估计参数的数量。 检验统计量近似服从自由度为 (k − c) 的卡方分布，其中 k 是非空单元格的数量， c 是分布中估计参数的数量。

将数组按指定大小分割为若干子数组。此函数的行为与PHP的array_chunk函数一致， 因此如果输入数组的长度不能被分割大小整除，则会在末尾插入较小的子数组。

x 应为一个数组，chunkSize 应为一个正整数。 数组 x 可以包含任意类型的数据。

Ckmeans聚类算法是一种基于动态规划的改进聚类方法，相比启发式的Jenks算法更为优化。 该算法由Haizhou Wang和Mingzhou Song 提出，通过最小化组内平方偏差和来实现数值数据的最优分组。

该实现基于Ckmeans 3.4.6版本，采用分治法将时间复杂度从O(kn²)优化至O(kn log(n))。

核心特性

• 动态规划构建代价矩阵和回溯矩阵
• 数值稳定性优化：通过中值平移技术
• 分治策略加速计算过程

参考文献

《Ckmeans.1d.dp: Optimal k-means Clustering in One Dimension by Dynamic Programming》 作者：Haizhou Wang和Mingzhou Song，刊于The R Journal Vol. 3/2, December 2011

变异系数_ 是标准差与均值的比值。 .._变异系数: https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_variation

组合的实现 组合是集合的唯一子集 - 在本例中，每次从集合中取出 k 个元素。 https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

实现组合的替换版本 组合是集合的唯一子集 - 在此情况下，每次从集合中选取 k 个元素。 '替换'意味着一个给定的元素可以被多次选择。 与排列不同，组合不关心顺序。

当需要合并两个已知均值的数值列表时， 不必重新以线性时间计算合并后列表的均值。 可以通过提供第一个列表的均值和数值数量，以及第二个列表的均值和数值数量， 使用此函数来计算合并后的均值。

当需要合并两个已知方差的数值列表时，不必重新线性计算合并后列表的方差。 可以使用此函数通过提供第一个列表的方差、均值、数量， 以及第二个列表的方差、均值、数量来计算合并后的方差。

创建组ID到点ID的查找表

逻辑分布累积分布函数

累积标准正态概率

由于无法为每个正态分布打印概率表（因为正态分布有无限多种），通常的做法是将正态分布转换为标准正态分布， 然后使用标准正态分布表查找概率。

你可以使用 .5 + .5 * errorFunction(x / Math.sqrt(2)) 来计算概率， 而不是从表格中查找。

给定一个数组 x，此函数将找到 x 的范围，并返回一个可用于将 x 分类为多个类别的断点数组。 返回的数组总是比类别数多 1，因为它包含最小值。

高斯误差函数

errorFunction(x/(sd * Math.sqrt(2))) 表示在标准偏差为 sd 的正态分布中，一个值在距离均值 x 范围内的概率。

该函数返回对精确值的数值近似。它使用 Horner 方法来计算 τ (tau) 的多项式。

计算两个点之间的欧几里得距离。

计算数组中的最小值和最大值。

该函数的时间复杂度为 O(n)，即线性时间，与数组的长度成正比。

范围是指数组中的最小值和最大值。对于一个已排序的数组， 数组中的第一个元素始终是最小值，而最后一个元素始终是最大值，因此这个计算可以在一步内完成，即常数时间复杂度。

阶乘，通常写作 n!，是所有小于或等于 n 的正整数的乘积。 阶乘通常以递归方式实现，但这种迭代方法显著更快且更简单。

初始化Ckmeans算法的主矩阵并启动分治聚类计算策略

递归执行分治策略计算指定簇的矩阵列

使用Nemes近似法计算值的伽马函数。 n的伽马函数等价于(n-1)!，但与阶乘函数不同的是，伽马函数对所有实数n（除了零和负整数）都有定义（此时返回NaN）。 注意，伽马函数也对复数有定义，但此实现目前不处理复数作为输入值。 Nemes近似法在这里定义为定理2.2。 负值使用欧拉反射公式进行计算。

使用Lanczos近似法计算伽马函数的对数值。 该函数接受任何大于0的实数n作为输入。 该函数对于普通伽马函数无法处理的大数值n（n > 165）非常有用。 代码基于Lanczos的伽马近似法，定义见此处。

几何平均数是一种适用于不同量级数据的均值计算方法。

该方法计算n个数字乘积的n次方根。

几何平均数在分析**比例增长**时特别有用： 当给定多年增长率（如_80%, 16.66% 和 42.85%_）时，算术平均数会错误估计平均增长率， 而几何平均数能准确计算出与多年增长结果等效的复合增长率。

算法时间复杂度为O(n)，与数组长度呈线性关系。

调和平均数是一种 通常用于计算比率平均值的均值函数。 该均值通过取输入数字倒数算术平均数的倒数来计算。

这是一种集中趋势度量： 用于寻找一组数字的典型值或中心值的方法。

该函数的时间复杂度为O(n)，即线性时间，与数组长度成正比。

四分位距是 一种衡量统计离散度的指标，用于描述分布的分散、扩展或集中程度。 它通过计算第三四分位数与第一四分位数之间的差值得出。

逆高斯误差函数 返回一个数值近似值，该值会导致errorFunction()返回x。

Jenks自然间断优化算法 是一种常用于制图和可视化中的算法，用于决定数据值的分组，以最小化组内方差并最大化组间差异。

例如，制图师通常使用Jenks算法来选择在等值区域图中 哪些值被分配给哪些颜色。

执行k均值聚类算法

根据当前聚类中心为数据点分配簇标签

简单线性回归 用于在坐标点集中寻找最佳拟合直线。本算法通过最小二乘法 计算回归直线的斜率和截距。

给定 linearRegression 的输出：一个包含 m 和 b 值的对象， 分别表示斜率和截距，生成一个将 x 值转换为 y 值的线性函数。

对数平均值 是一种适用于大或小乘积数组的几何平均值的等效计算方法。

它通过计算元素的对数平均值并取指数来得到。

Logit 是累积标准Logistic概率的反函数， 也被称为Logistic分位数函数。

二分查找下界索引（第一个大于等于目标值的位置）

创建一个新的列 x 行矩阵。

计算数组中的最大值。

该算法的时间复杂度为 O(n)，即线性时间，与数组的长度成正比。

最大值是数组中的最高数值。对于已排序的数组， 数组的最后一个元素始终是最大的，因此这个计算 可以在一步内完成，即常数时间复杂度。

均值，也称为平均数， 是所有值的和除以值的数量。 这是一种集中趋势的度量： 一种寻找一组数字的典型或中心值的方法。

该算法的时间复杂度为O(n)，即线性时间，与数组的长度成正比。

计算点到指定组的平均距离（可包含自身所在组）

计算当前点到最近组（由最近邻点确定）的平均距离

均值（算术平均数）是数据集中所有观测值的总和除以观测数量， 属于集中趋势度量方法， 用于寻找数据集的典型中心值。

本简单均值函数内部采用逐次累加法计算，未考虑浮点加法误差。 如需更高计算精度，应改用标准mean方法。

时间复杂度为O(n)，与数组长度成线性关系。

中位数是 一组数字的中间值。当存在异常值导致mean()（均值）偏离时， 中位数通常是“中间值”的良好指标。 这是集中趋势的一种度量方法： 用于寻找一组数字的典型或中心值。

中位数不一定是列表中的元素之一：如果列表长度为偶数且两个中心值不同， 则中位数可以是这两个元素的平均值。

中位绝对偏差是一种 鲁棒的统计离散度量。相比标准差，它对异常值更具抵抗力。

中位数是 数据集的中间值。当存在偏离平均值的异常值时， 该指标能更好地反映数据的中心位置。属于 集中趋势度量方法， 用于寻找数据集的典型中心值。

中位数不一定是数据集中的元素：当数据量为偶数时， 其值可能为两个中间元素的平均值。

最小值是数组中的最低数字。 该算法的时间复杂度为 O(n)，即线性时间，与数组的长度成正比。

最小值是数组中的最小数字。对于一个已排序的数组， 数组的第一个元素总是最小的，因此这个计算可以在一步内完成，即常数时间复杂度。

众数是 数据集中出现频率最高的元素。当存在多个相同频率的众数时， 本算法将返回最后遇到的那个值。

这是集中趋势度量方法， 用于寻找数据集的典型中心值。

本算法时间复杂度为O(n log(n))，因为需要先对数组进行排序， 再进行O(n)复杂度的众数搜索。

众数是 数据集中出现频率最高的元素。一个数据集可能包含 多个众数：当出现频率相同时，本算法将返回最近遇到的众数。

modeFast使用Map对象替代mode方法的排序数组方案来跟踪状态， 因此效率更高且支持所有可通过==比较的数据类型。 要求 JavaScript环境支持Map对象， 若不可用将抛出错误。

这是集中趋势度量方法， 用于寻找数据集的典型中心值。

众数是数据集中出现次数最多的数值。 一个数据集可能存在多个众数：当出现频率相同的多个值时，本算法将返回最后出现的众数。 这是集中趋势的度量方法： 用于寻找数据集的典型值或中心值。

由于输入已排序，算法时间复杂度为O(n)。

多分位点选择优化算法

对数字数组按其数值大小进行排序，确保数组不会原地修改。

这是必要的，因为 JavaScript 中 .sort 的默认行为是将数组作为字符串值进行排序

[1, 10, 12, 102, 20].sort()
// 输出
[1, 10, 102, 12, 20]

执行置换检验 用于判断两个数据集是否具有显著性差异，使用组间均值差作为检验统计量。 支持以下假设类型：

• two_side = 零假设：两个分布相同（双尾检验）
• greater = 零假设：样本X观测值通常小于样本Y（右尾检验）
• less = 零假设：样本X观测值通常大于样本Y（左尾检验） 了解单尾与双尾检验的区别

Heap算法的实现， 用于生成排列。

泊松分布是离散概率分布， 表示在固定时间/空间间隔内事件发生次数的概率，当事件以已知平均速率独立发生时适用。 其特征由严格正数的平均到达率（发生率）λ决定。

Probit 是 cumulativeStdNormalProbability() 的反函数， 也被称为正态分位数函数。

它返回与均值相差的标准差数量，表示在正态分布中可以找到第 p 个分位数的位置。 例如，probit(0.5 + 0.6827/2) ≈ 1，因为 68.27% 的值通常分布在均值上下 1 个标准差范围内。

乘积 是一个数组中所有数字相乘的结果，从1作为乘法单位元开始。

该算法的时间复杂度为 O(n)，即线性时间，与数组的长度成正比。

分位数计算函数： 本实现基于总体分位数算法，假设已知完整数据集。遵循维基百科 总体分位数算法。

分位数索引计算函数

该函数返回给定值在给定数组中的分位数位置。它会在每次运行前复制并排序数组， 因此如果你知道数组已经排序，应该使用 quantileRankSorted 代替。

本函数计算给定值在已排序数组中的分位数排名。通过二分查找算法，可在对数时间内完成计算。

分位数选择函数（基于快速选择算法）

分位数计算内部实现（输入已排序数组时可避免重复排序，提升计算效率）

重新排列 arr 中的元素，使得 [left, k] 范围内的所有元素都是最小的。 第 k 个元素将是 [left, right] 范围内第 (k - left + 1) 小的值。

实现 Floyd-Rivest 选择算法 https://en.wikipedia.org/wiki/Floyd-Rivest_algorithm

决定系数（R²） 用于评估回归函数f对数据的拟合程度，计算预测值与实际值的平方差异和。

相对误差计算函数。

相对误差计算比表面更为复杂[1,2]。传统计算公式为|(A-E)/E|，但存在两个关键问题：

1. 当期望值为零时，任何非零实际值都会产生无限大相对误差，这与直觉相悖（如期望电压为0时，测量到0.1伏特不应视为无穷大误差）
2. 该公式不满足数学度量的严格定义[3]。[4]提出使用|ln(|A/E|)|定义，但仅适用于正值场景（如-10与10的误差会被误判为0）

本实现遵循常规方案：

• 当实际值与期望值均为零时返回0
• 当期望值为零而实际值非零时返回Infinity
• 其他情况返回|(A-E)/E|

[1] 零点相对误差计算问题 https://math.stackexchange.com/questions/677852/how-to-calculate-relative-error-when-true-value-is-zero [2] 相对变化与差异 https://en.wikipedia.org/wiki/Relative_change_and_difference [3] 数学度量定义 https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_(mathematics)#Definition [4] F.W.J.奥尔弗，《误差算术新方法》SIAM数值分析期刊, 15(2), 1978, DOI:10.1137/0715024

均方根（Root Mean Square, RMS）是一种均值函数， 用于衡量一组数的大小，而不考虑它们的符号。 它是输入数值平方的平均值的平方根。 该算法的时间复杂度为 O(n)，即线性时间，与数组的长度成正比。

从给定的包含 n 个元素的数组中创建一个简单随机样本。

采样值可以是任意顺序，不一定与输入中的顺序相同。

相关系数是衡量两个数据集相关性的指标，取值范围在-1到1之间

样本协方差计算两个数据集的协同变化程度： 评估两个数据集的变动趋势是否一致。 x 和 y 是两个数据集，表示为数值数组。

峰度 是 衡量分布尾部相对于其方差的厚度的指标。峰度值可以是正数、负数，甚至未定义。

实现基于 Fisher 的超额峰度定义，并使用无偏矩估计。这是 Excel 中使用的版本， 并在多个统计软件包中可用，包括 SAS 和 SciPy。

秩相关系数是 衡量两个数组之间单调关系强度的指标

偏度 是衡量实值随机变量的概率分布 在均值一侧“倾斜”程度的统计量。 偏度的值可以为正、负，甚至未定义。

该实现基于调整后的 Fisher-Pearson 标准化矩系数， 该方法被 Excel 及多个统计软件（如 Minitab、SAS 和 SPSS）采用。

样本标准差 是样本方差的平方根。

样本方差 是各数据点与均值偏离程度的平方和。样本方差通过贝塞尔校正 与普通方差区分：不使用输入数据长度直接除平方和，而是采用长度减一作为除数。 该方法可修正从未知完整性的数据集中进行估计时产生的偏差。

参考文献:

• Wolfram MathWorld 样本方差解释

有放回抽样是一种允许从总体中多次抽取同一项目的抽样方法。

Fisher-Yates shuffle 是一种快速生成有限集合随机排列的方法。 这是一个围绕 shuffle_in_place 的函数，保证不会修改输入。

费舍尔-耶茨洗牌算法 原地洗牌实现（直接修改原始数组顺序）

该算法用于生成集合的随机排列。 注意：此方法会通过引用直接修改原始数组顺序。

Sign 是一个函数， 用于提取实数的符号

计算聚类数据的轮廓系数

计算一组N维点的轮廓系数。 该指标是数据中最大的单个轮廓值。

基于数据数组的累积和及平方累积和，生成增量计算值

标准差 是方差的平方根。这也被称为总体标准差。它用于衡量一组值中的变异或离散程度。

标准差仅适用于全总体数据：对于样本数据，使用 sampleStandardDeviation 更为合适。

当从列表中移除一个值时，不必线性地重新计算列表的均值。相反，可以通过提供当前均值、 列表中的元素数量以及要移除的值，使用此函数来计算新的均值。

我们的默认求和算法是 Kahan-Babuska算法。 该算法是对经典的 Kahan求和算法 的改进。 它旨在计算一组数字的总和，同时纠正浮点误差。传统上，求和是通过多次连续的加法运算来完成的，每次加法都会产生自己的浮点舍入误差。 随着数字数量的增加，这些精度损失会累积。该替代算法比简单的加法求和更精确。

该算法的时间复杂度为 O(n)，即线性时间，与数组的长度成正比。

计算N次方偏差之和 当n=2时为平方偏差之和 当n=3时为立方偏差之和

简单的求和操作， 即将数组中的所有数字相加，从零开始。

该算法的时间复杂度为 O(n)，即线性时间，与数组的长度成正比。

用于计算单样本t检验，将样本均值与已知值x进行比较。

在这种情况下，我们试图确定总体均值是否等于我们已知的值，即这里的x。 通常，这里的结果用于查找p值，对于一定的显著性水平， 可以确定是否拒绝原假设。

本函数用于计算双样本t检验 检验"mean(X)-mean(Y) = difference"的假设（最常见情况是当difference == 0时， 检验两个样本是否可能来自具有相同均值的总体），在未知两样本标准差但假设它们具有相同标准差时使用。

通常计算结果用于查找P值， 根据给定的显著性水平判断是否可以拒绝零假设。

当差值为0时，diff参数可省略。

本检验用于拒绝 样本X和样本Y来自相同总体均值的零假设。

对于一个已排序的输入，计算唯一值的数量可以在常数时间和常数内存内完成。 这是该算法的一个简单实现。

值使用 === 进行比较，因此对象和非原始对象不会以任何特殊方式处理。

二分查找上界索引（第一个大于目标值的位置）

方差 是数据点与均值之间偏差的平方和。

这是方差的实现，不是样本方差： 如果你需要一个样本度量，请使用 sampleVariance 方法。

本函数计算第一个样本相对于第二个样本的威尔科克森秩和统计量。 该检验是t检验的非参数替代方法，等价于曼-惠特尼U检验。计算过程包含以下步骤：

1. 合并两个样本并进行排序
2. 处理相同观测值的并列秩次
3. 计算指定样本的秩和

Z分数（标准分数）计算函数。

标准分数表示观测值与均值的偏离程度，以标准差为单位计量。正值表示高于均值， 负值表示低于均值。其计算方式为：原始分数减去总体均值，再除以总体标准差， 结果为无量纲量。

注意：Z分数的计算需要已知总体参数（μ和σ）；若仅有样本数据， 使用样本均值和样本标准差计算将得到学生t统计量。